江蘇農信社考試財務(wù)管理（3）
第二章  財務(wù)管理基礎觀(guān)念
第一節  資金時(shí)間價(jià)值
(三) 年金的計算
    年金是指等額、定期的系列收支。例如，分期付款賒購、分期償還貸款、發(fā)放養老金、分期支付工程款、每年相同的銷(xiāo)售收入等，都屬于年金收付形式。按照收付的次數和支付的時(shí)間劃分，年金有以下幾類(lèi)：
    1．普通年金
    普通年金又稱(chēng)后付年金，是指各期期末收付的年金。普通年金的收付形式如圖2—1。橫線(xiàn)代表時(shí)間的延續，用數字標出各期的順序號；豎線(xiàn)的位置表示支付的時(shí)刻，豎線(xiàn)下端數字表示支付的金額。

（1）普通年金終值計算
普通年金終值是指其最后一次支付時(shí)的本利和，它是每次支付的復利終值之和。例如，按圖2—1的數據，其第三期末的普通年金終值可計算如圖2—2。

在第一期末的100元，應賺得2期的利息，因此，到第三期末其值為121元；在第二期末的100元，應賺得1期的利息，因此，到第三期末其值為110元；第三期末的100元，沒(méi)有計息，其價(jià)值是100元。整個(gè)年金終值331元。
    如果年金的期數很多，用上述方法計算終值顯然相當繁瑣。下面提供簡(jiǎn)便的計算方法。 
    設每年的支付金額為A，利率為i，期數為n，則按復利計算的年金終值s為：                               
    s = A + A(1+i) + A(1+i)2 + ……… + A(1+i)n-1 
    等式兩邊同乘(1+i)：
    (1+i)s = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ……… + A(1+i)n 
    上述兩式相減：(1+i)s - s = A(1+i)n - A


式中[(1+i)n - 1]/i是普通年金1元、利率為i、經(jīng)過(guò)n期的年金終值，記作(s／A，i，n)。
    (2) 償債基金
    償債基金是指為使年金終值達到既定金額每年應支付的年金數額。
    [例2—8] 擬在5年后還清10 000元債務(wù)，從現在起每年等額存入銀行一筆款項。假設銀行存款利率10％，每年需要存入多少元?
    由于有利息因素，不必每年存入2 000元(10 000÷5)，只要存入較少的金額，5年后本利和即可達到l0 000元，可用以清償債務(wù)。


根據年金終值計算公式：


    可知：
    式中的是年金終值系數的倒數，稱(chēng)償債基金系數，記作(A／s，i，n)。它可以把年金終值折算為每年需要支付的金額。
將例2—8有關(guān)數據代入上式：
    A = 10 000×[1÷(s／A，10%，5)]
      = l0 000×[1÷6.105]
      = 10 000×O.1638
      = 1 638（元）
    因此，在銀行利率為l0％時(shí)，每年存入1 638元，5年后可得10 000元，用來(lái)還清債務(wù)。
    (3) 普通年金現值計算
    普通年金現值，是指為在各期期末取得相等金額的款項，現在需要投入的金額。
    [例2—9] 某人出國3年，請你代付房租，每年租金100元，設銀行存款利率l0％，他應當現在給你在銀行存入多少錢(qián)?
這個(gè)問(wèn)題，可以表述為：請計算i=10%，n=3，A＝100元之年終付款的現在等效值是多少? 
設年金現值為p，則(見(jiàn)圖2—3)：

p = 1OO×(1+10％)-1 + 1OO×(1+10％)-2 + 1OO×(1+10％)-3
      = 100×0.9091 + 100×0.8264+100×0.7513
      = 1OO×（O．9091+0.8264+0.7513)
      = 1OO× 2.4868
      = 248.68（元）
計算普通年金現值的一般公式：
    p = A(1+ i)-1 + A(1+ i)-2 + ……… + A(1+ i)-n
等式兩邊同乘(1+i)
    p(1+ i) = A + A(1+ i)-1 + ……… + A(1+ i)-（n-1）
    后式減前式：
    p(1+ i) - p =  A - A(1+ i)-n
    p•i = A[1-(1+ i)-n]
p = A •    
式中的是普通年金l元，利率為i、經(jīng)過(guò)n期的年金現值，記作(p／A，i，n)，可據此制作普通年金現值系數表，以供查閱。
    根據例2—9數據計算：
    p = A·(p／A，i，n) = 100×(p／A，10％，3)
    查表；(p／A，10％，3) = 2.487
    p = 100×2.487 = 248.70（元）
    2．預付年金
    預付年金是指在每期期初支付的年金，又稱(chēng)即付年金或先付年金，預付年金支付形式見(jiàn)圖2-4。

(1) 預付年金終值計算
    預付年金終值的計算公式為：
    s = A(1+i)+A(1+i)2 + ……… +A(1+ i)n
    式中各項為等比數列，首項為A(1+i)，公比為(1+i)，據等比數列的求和公式可知；
式中的[(1+i)n+1-1]/i - 1是預付年金終值系數，或稱(chēng)1元的預付年金終值。它和普通年金終值系數[(1+i)n - 1] / i相比，期數加l，而系數減1，可記作[(s／A，i，n+1) - 1]，并可利用“普通年金終值系數表”查得(n+1)期的值，減去1后得出1元預付年金終值。
[例2—12]A = 200，i = 8％，n = 6的預付年金終值是多少?
    s = A·[(s／A，i，n+1)-1)
      = 200×[(s／A，8％，6+1)- 1]
    查“普通年金終值系數表”：
    (s／A，8％，7) = 8.923
    s = 200×(8.923 - 1)
      = 1 584.60(元)
    (2) 預付年金現值計算
預付年金現值的計算公式：
    p = A + A(1+i)-1+A(1+i)-2 + ……… +A(1+ i)-(n-1)
    式中各項為等比數列，首項是A，公比是(1+i)-1，根據等比數列求和公式：
式中的[1-（1+i）-(n-1)]/i + 1是預付年金現值系數，或稱(chēng)1元的預付年金現值。它和普通年金現值系數[1-(1+ i)-n]/i相比，期數要減1，而系數要加l,可記作[(p／A，i，n-1)+1]?？衫?ldquo;普通年金現值系數表”查得（n-1）期的值，然后加1，得出1元的預付年金現值。
    [例2—13] 6年分期付款購物，每年初付200元，設銀行利率為l0％，該項分期付款相當于一次現金支付的購價(jià)是多少？
    p = A·[(p／A，i，n-1)+1)
      = 200×[(p／A，10%，5)+1]
      = 200×（3.791+1）
      = 958.20（元）

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